Question

【題目】已知如圖，是圓直徑，是圓的切線，切點為，平行于弦，，的延長線交于點，若，且，的長是關于的方程的兩個根

證明：是圓的切線；

求線段的長；

求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；(2)；（3）．

【解析】

（1）如圖由BC是直徑，BE是的切線，得到∠EBO=90°,根據平行線和等腰三角形的性質，得到∠1=∠4，通過全等三角形證得．
（2）根據一元二次方程的根與系數的關系，求得AD的長，由切割線定理求出AB的長，得到圓的直徑，然后在Rt△ABE中，根據勾股定理求出BE的長，
（3）則中，即可求得∠AEO的正切值，由于∠ADC=∠AEO，由此可求出∠ADC的正切值．

解：證明：如圖，

∵是直徑，是的切線，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

在與中，

，

∴，

∴，

∴，

∴是的切線；

∵，的長是關于的方程的兩個根，，

∴，

由切割線定理得：，

∴，

由證得，

∴，

∴，

∴；

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．