Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點P是AB邊上的一個動點。過點P作AB的垂線交AC邊于點D，以PD為邊作∠DPE=60°，PE交BC邊于點E。

（1）以點D為AC邊的中點時，求BE的長

（2）當PD=PE時，求AP的長；

（3）設AP的長為x，四邊形CDPE的面積為y，求出y與x的函數解析式及自變量的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）根據勾股定理可求出AC和BC的長，從而知AD的長度，在中可求出AP的長，則，又因可知，根據直角三角形的性質即可得BE的長；

（2）設，由題（1）可知，在和中可以求出AP和BP的長，再根據求解即可得；

（3）由可得DP、BP的長，從而得BE和EP的長，根據面積公式可列出等式：，化簡即可得，最后根據和聯立求x的取值范圍.

（1）由題意可得，在中，

點D為AC的中點

在中可得，

又

在中，；

（2）設

由題（1）可知，在中，

在中，

又，即

解得

；

（3）設，則

在中，

在中，

即

化簡得

由題意得，即

又，即

聯立解得

故出y與x的函數解析式為，自變量的取值范圍為.