Question

【題目】綜合題
（1）閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關系．

解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點F，易證△AEB≌△FEC，得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉化在一個三角形中即可判斷．
AB、AD、DC之間的等量關系為；
（2）問題探究：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關系，并證明你的結論．

（3）問題解決：如圖③，AB∥CF，AE與BC交于點E，BE：EC=2：3，點D在線段AE上，且∠EDF=∠BAE，試判斷AB、DF、CF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）AD=AB+DC
（2）AB=AF+CF，

證明：如圖②，延長AE交DF的延長線于點G，

∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分線，

∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，

∴∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∴AB=CG=AF+CF；

（3）AB= （CF+DF），

證明：如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，

∵AB∥CF，

∴△AEB∽△GEC，

∴ = = ，即AB= CG，

∵AB∥CF，

∴∠A=∠G，

∵∠EDF=∠BAE，

∴∠FDG=∠G，

∴FD=FG，

∴AB= CG= （CF+DF）．

【解析】解：（1）如圖①，延長AE交DC的延長線于點F，

∵AB∥DC，

∴∠BAF=∠F，

∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

在△AEB和△FEC中，

，

∴△AEB≌△FEC，

∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠DAF=∠BAF，

∴∠DAF=∠F，

∴DF=AD，

∴AD=DC+CF=DC+AB，

所以答案是：AD=AB+DC；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．