Question

【題目】如圖，點P在y軸的正半軸上，⊙P交x軸于B、C兩點，以AC為直角邊作等腰Rt△ACD，BD分別交y軸和⊙P于E、F兩點，連接AC、FC．

（1）求證：∠ACF=∠ADB；

（2）若點A到BD的距離為m，BF+CF=n，求線段CD的長；

（3）當⊙P的大小發生變化而其他條件不變時，的值是否發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）連接AB，根據線段垂直平分線性質求出AB=AC=AD，推出∠ADB=∠ABD，根據∠ABD=∠ACM求出即可；

（2）過點A作AH⊥BD于點H，求得∠FCD=∠FDC，根據勾股定理和等腰直角三角形的性質求出CD的平方，即可求出答案；

（3）過點D作DH⊥AO于N，過點D作DQ⊥BC于Q根據AAS證△DAM ≌△ACO和△DAF ≌△CAF，推出DH=AO，AH=OC，推出DQ=BQ，得出∠DBQ=45°，推出∠HDE=45°，得出等腰直角三角形DHE即可.

解：（1）證明：∵ PO⊥BC

∴ BO=CO

∴ AO垂直平分BC

∴ AB=AC

又∵ △ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形

∴ AC= AD

∴ AB= AD

∴ ∠ABD=∠ADB

∵ ∠ABD=∠ACF

∴ ∠ACF =∠ADB

解：（2）過點A作AH⊥BD于點H

∴ AH=1

∵ △ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形

∴ ∠ACD=∠ADC

∵ ∠ACF =∠ADB

∴∠ACD－∠ACF =∠ADC－∠ADB

即：∠FCD=∠FDC

∴ CF =DF

∵ BF+CF=14

∴ BD= BF+ DF = BF+CF =14

又∵ AB= AD

∴ BH= DH=BD=7

∴在Rt△ADH中：AD=

∴ AC= AD

∴ CD=

解：（3）的值不發生變化，過點過點D作DM⊥y軸于點M

∴ ∠DMA=∠AOC=90°

∴ ∠OAC+∠ACO=90°

∵ △ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形

∴ ，∴ ∠DAC=90°，AC= AD

∴ ∠DAM +∠OAC = 90°

∴∠DAM=∠ACO

∴ △DAM ≌△ACO

∴ DM=AO

在△DAF與△CAF中，

AD=AC，AF=AF，DF=CF，

∴ △DAF ≌△CAF

∴ ∠DAF=∠CAF = 45°

∴ ∠CBF=∠CAF = 45°

∴ ∠BEO = 45°

∴ ∠DEM=∠BEO = 45°

∴ △DEM是等腰直角三角形

∴

∴

“點睛”本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的性質和判，及勾股定理，線段垂直平分線性質，解（1）小題的關鍵是求出AB=AC=AD，解（2）小題的關鍵是求出BH的長，解（3）小題的關鍵是證出△DEM是等腰直角三角形.