Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．

（1）求證：∠ABO＝∠CAD；

（2）求四邊形ABCD的面積；

（3）如圖2，E為∠BCO的鄰補角的平分線上的一點，且∠BEO＝45°，OE交BC于點F，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）50；（3）7.

【解析】

（1）根據四邊形的內角和定理、直角三角形的性質證明；

（2）過點A作AF⊥BC于點F，作AE⊥CD的延長線于點E，作DG⊥x軸于點G，證明△ABF≌△ADE、△ABO≌△DAG，得到D點的坐標為（4，﹣3），根據三角形的面積公式計算；

（3）作EH⊥BC于點H，作EG⊥x軸于點G，根據角平分線的性質得到EH＝EG，證明△EBH≌△EOG，得到EB＝EO，根據等腰三角形的判定定理解答．

（1）在四邊形ABCD中，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∵BC⊥CD，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAC+∠CAD＝90°，

∵∠BAC+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠CAD；

（2）過點A作AF⊥BC于點F，作AE⊥CD的延長線于點E，作DG⊥x軸于點G，如圖1

∵B（0，7），C（7，0），

∴OB＝OC，

∴∠BCO＝45°，

∵BC⊥CD，

∴∠BCO＝∠DCO＝45°，

∵AF⊥BC，AE⊥CD，

∴AF＝AE，∠FAE＝90°，

∴∠BAF＝∠DAE，

在△ABF和△ADE中，

，

∴△ABF≌△ADE（AAS），

∴AB＝AD，

同理，△ABO≌△DAG，

∴DG＝AO，BO＝AG，

∵A（﹣3，0）B（0，7），

∴D（4，﹣3），

S四ABCD＝AC（BO+DG ）＝50；

（3）過點E作EH⊥BC于點H，作EG⊥x軸于點G，如圖2

∵E點在∠BCO的鄰補角的平分線上，

∴EH＝EG，

∵∠BCO＝∠BEO＝45°，

∴∠EBC＝∠EOC，

在△EBH和△EOG中，

，

∴△EBH≌△EOG（AAS），

∴EB＝EO，

∵∠BEO＝45°，

∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，又∠OBC＝45°，

∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°，

∴BF＝BO＝7．