Question

已知，如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)B（m，-3），它的對(duì)稱軸x=-2與x軸交于點(diǎn)A，直線y=-2x+1與拋物線交于點(diǎn)B，且與y軸、直線x=-2分別交于點(diǎn)D、C．
（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）求證：①AC=AB，②BD=CD；
（3）除B點(diǎn)外，直線y=-2x+1與拋物線有無(wú)公共點(diǎn)？并說(shuō)明理由；
（4）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得PB=PC？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，且過(guò)O、A兩點(diǎn)，因此A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）．可用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線的解析式，然后根據(jù)直線y=-2x+1求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）①可根據(jù)拋物線的解析式求出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出△ACB三邊的長(zhǎng)，可據(jù)此證明AC=AB，
②可過(guò)C、B作y軸的垂線通過(guò)證三角形全等來(lái)得出D是BC中點(diǎn)即可；
（3）由題意可知：P點(diǎn)必為線段BC垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，可先求出線段BC的垂直平分線，然后聯(lián)立拋物線的解析式，即可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（m，-3）在直線y=-2x+1上，
∴-3=-2×m+1，
∴m=2，
∴B（2，-3）
∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)M，對(duì)稱軸為x=-2，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，0）
設(shè)所求的拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-0）（x+4），將點(diǎn)B（2，-3）代入上式，
得-3=a（2-0）（2+4），
∴a=-

1

4

，
∴所求的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

4

x（x+4），
即y=-

1

4

x²-x；

（2）①證明：∵直線y=-2x+1與y軸、直線x=-2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為D（0，1），C（-2，5），
過(guò)點(diǎn)B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=-2交于G，
∴BG⊥直線x=-2，BG=4、
在Rt△BGC中，AB=

AG2+BG2

=5，
∵AC=5，
∴AB=AC=5，
②證明：
過(guò)點(diǎn)C作CH∥x軸，交y軸于H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（0，5），又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F（0，-3）、D（0，1），
∴FD=DH=4，BF=CH=2，∠BFD=∠CHD=90°
∴△DFB≌△CHD（SAS），
∴BD=CD；

（4）存在．
∵PB=PC，
∴點(diǎn)P在直線AD上，
∴符合條件的點(diǎn)P是直線AD與該拋物線的交點(diǎn)
設(shè)直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將D（0，1）A（-2，0）代入，
得

b=1 -2k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=1

，
∴直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x+1，
∵動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-

1

4

x²-x），
∴

1

2

x+1=-

1

4

x²-x
解得x₁=-3+

5

，x₂=-3-

5

，
∴y₁=

-1+ 5

2

，y₂=

-1- 5

2

，
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3+

5

，

-1+ 5

2

-）或（-3-

5

，

-1- 5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、等腰三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．