Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，C90，點D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，與邊BC交于點F，過點E作EHAB于點H，連結BE．

（1）求證：BCBH；

（2）若AB5，AC4，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）連接OE，如圖，根據切線的性質得到OE⊥AC，則可證明∠1=∠3，然后證明Rt△BEH≌Rt△BEC得到結論；

（2）利用勾股定理計算出BC=3，求解，設CEx，則EHx，AE4x．在Rt△AEH中，由勾股定理可得答案．

（1）證明：如圖，連結OE．

∵OEOB，∴12

∵AC與⊙O相切，

∴ACOE，

∵BCAC，∴OE//BC，

∴23，

C90，EHAB，

∴△BCE≌△BHE（AAS）

∴BCBH；

（2）解：設CEx，

△BCE≌△BHE，

則EHx，AE4x．在Rt△ABC中，由勾股定理得：

由（1）可知：BHBC3，

∴AHABBH532．

在Rt△AEH中，由勾股定理得：，

，解之得：．

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