Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點與圖形，若點為圖形上任意一點， 點關于第一、三象限角平分線的對稱點為 ，且線段的中點為，則稱點是圖形關于點的“關聯點”

（1）如圖1，若點是點關于原點的關聯點，則點的坐標為

（2）如圖2，在中，

①將線段向右平移個單位長度，若平移后的線段上存在兩個關于點的關聯點，則的取值范圍是

②已知點和點，若線段上存在關于點的關聯點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或．

【解析】

（1）設點P坐標為（a，b），根據“關聯點”的定義、中點的坐標公式和關于第一、三象限角平分線對稱的兩點的坐標規律即可；

（2）①先求出原AC與x軸的交點，然后根據△ABC是軸對稱圖形，且對稱軸為第一、三象限角平分線和“關聯點”的定義可得：“關聯點”定義中的為OA關于（2,0）的對稱線段與△ABC邊的交點，平移線段可發現：當在C的左側，過點（1,0）或（1,0）的右側時符合題意，再列出不等式即可；

②由S、T的坐標可知，線段ST是x軸的一部分，線段ST關于點N的對稱線段也是x軸的一部分，從而判斷出定義中是△ABC邊與x軸的交點，由圖可知：點只有（-2,0）與（1,0）兩種可能，再根據線段需要過點（-2,0）或（1,0）分類討論并列出不等式即可．

解：（1）設點P坐標為（a，b）

∵點關于第一、三象限角平分線的對稱點為，

∴，

∵點是點關于原點的關聯點，

∴的中點為原點，

∴，解得

∴點P坐標為：

故答案為：

（2）①設原AC的解析式為y=kx+b，

將代入得：

，解得：

∴原直線AC的解析式為：y=2x-2，

當y=0時，解得：x=1，

∴原AC與x軸的交點為（1,0）

△ABC是軸對稱圖形，且對稱軸為第一、三象限角平分線和“關聯點”的定義可得：定義中的Q在△ABC邊上，

∴也在△ABC的邊上，

∵將線段AO向右平移d(d>0)個單位長度，若平移后的線段上存在兩個△ABC關于點（2,0）的關聯點，

∴點和線段OA上的點必關于點（2,0）對稱，此時O點坐標為（d,0），A點坐標為（2+d,2），

故作出OA關于（2,0）的對稱線段，其中，，也必在上，即點為與△ABC邊的交點，

∵平移后的線段上存在兩個關于點的關聯點，

∴與△ABC邊必須有兩個交點才滿足題意，

如圖中藍線所示，平移可發現，當與C重合時，與△ABC邊有一個交點，繼續向左平移即可有兩個交點，當過點（1,0）也有兩個交點，繼續向左平移就只有一個交點，

故當在C的左側，過點（1,0）或（1,0）的右側時符合題意，

，解得：．

故答案為：

②∵點和點

∴線段ST是x軸的一部分

∴線段ST上存在△ABC關于點N（n,0）的關聯點，

故S、T關于點N（n,0）的對稱點坐標為（n-2,0），坐標為（n-4,0）定義中在線段上，

∴即為△ABC邊與x軸的交點，

由圖可知，點只有（-2,0）與（1,0）兩種可能，

∴線段需要過點（-2,0）或（1,0），

當線段需要過點（-2,0）時，

，解得

當線段需要過點（1,0）時，

，解得，

綜上所述：或．