Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0）．

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）該拋物線與直線相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．

①連結PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；

②連結PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，（2，）或（，）.

【解析】

試題（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）①可設出P點坐標，則可表示出M、N的坐標，聯立直線與拋物線解析式可求得C、D的坐標，過C、D作PN的垂線，可用t表示出△PCD的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值；

②當△CNQ與△PBM相似時有或兩種情況，利用P點坐標，可分別表示出線段的長，可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0），

∴，解得

∴該拋物線對應的函數解析式為；

（2）①∵點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，

∴可設P（t，）（1＜t＜5），

∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N，

∴M（t，0），N（t，），

∴PN=.

聯立直線CD與拋物線解析式可得，解得或，

∴C（0，3），D（7，），

分別過C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，

則CE=t，DF=7﹣t，

∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN·CE+PNDF=PN=，

∴當t=時，△PCD的面積有最大值，最大值為；

②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴當△CNQ與△PBM相似時，有或兩種情況，

∵CQ⊥PM，垂足為Q，

∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，），

∴CQ=t，NQ=﹣3=，

∴，

∵P（t，），M（t，0），B（5，0），

∴BM=5﹣t，PM=0﹣（）=，

當時，則PM=BM，即，解得t=2或t=5（舍去），此時P（2，）；

當時，則BM=PM，即5﹣t=（），解得t=或t=5（舍去），此時P（，）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為P（2，）或（，）．