Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，作DE⊥BC于點F，連接EF，求證：

（1）△ADE≌△CDF；

（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】

（1）利用菱形的性質得到AD=CD，∠A=∠C，進而利用AAS證明兩三角形全等；

（2）由△ADE≌△CDF得到DE=DF，進而證明出△DEF是等邊三角形，再解直角三角形求出DF的長，即可求出△EDF的周長．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，∠A＝∠C，

∵DE⊥BA，DF⊥CB，

∴∠AED＝∠CFD＝90°，

在△ADE和△CDF，

∵，

∴△ADE≌△CDF；

（2）∵△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，

∵菱形ABCD，DE⊥AB于點E，∠A＝60°，

∴∠ADC＝120°，∠ADE＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴△DEF是等邊三角形，

在Rt△AED中，∵AD＝4，∠A＝60°，

∴DE＝sin60°AD＝2，

∴△EDF的周長＝3DE＝6．