Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D．過點D作DE⊥AD交AB于點E，以AE為直徑作⊙O．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若AC＝6，BC＝8，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，由AE為直徑、DE⊥AD可得出點D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，根據AD平分∠CAB可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“內錯角相等，兩直線平行”可得出AC∥DO，再結合∠C＝90°即可得出∠ODB＝90°，進而即可證出BC是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的長度，設OD＝r，則BO＝10﹣r，由OD∥AC可得出＝，代入數據即可求出r值，再根據BE＝AB﹣AE即可求出BE的長度．

（1）證明：連接OD，如圖所示．

在Rt△ADE中，點O為AE的中點，

∴DO＝AO＝EO＝AE，

∴點D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO．

又∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠DAO，

∴∠ADO＝∠CAD，

∴AC∥DO．

∵∠C＝90°，

∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC．

又∵OD為半徑，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵在Rt△ACB中，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝10．

設OD＝r，則BO＝10﹣r．

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴，即，

解得：r＝，

∴BE＝AB﹣AE＝10﹣＝．