Question

已知：一次函數y=-

1

2

x+2的圖象與x軸、y軸的交點分別為B、C，二次函數的關系式為y=ax²-3ax-4a（a＜0）．
（1）說明：二次函數的圖象過B點，并求出二次函數的圖象與x軸的另一個交點A的坐標；
（2）若二次函數圖象的頂點，在一次函數圖象的下方，求a的取值范圍；
（3）若二次函數的圖象過點C，則在此二次函數的圖象上是否存在點D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點D坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）令y=0，則-

1

2

x+2=0，解得x=4，
令x=0，則y=2，
所以，點B（4，0），C（0，2），
令y=0，則ax²-3ax-4a=0，
整理得x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，二次函數的圖象過B點，
二次函數的圖象與x軸的另一個交點A的坐標為A（-1，0）；

（2）y=ax²-3ax-4a=a（x²-3x-4）=a（x-

3

2

）²-

25

4

a，
所以，拋物線的頂點坐標為（

3

2

，-

25

4

a），
當x=

3

2

時，y=-

1

2

×

3

2

+2=

5

4

，
∵二次函數圖象的頂點在一次函數圖象的下方，
∴-

25

4

a＜

5

4

，
解得a＞-

1

5

，
∴a的取值范圍是-

1

5

＜a＜0；

（3）存在．
理由如下：∵二次函數的圖象過點C，
∴a×0²-3a×0-4a=2，
解得a=-

1

2

，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∵點A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵

OA

OC

=

OC

OB

=

1

2

，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形，此時點D與點C重合，
根據二次函數的對稱性，當y=2時，-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，
整理得，x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴點D的坐標為（0，2）或（3，2）時，△ABD是直角三角形．