Question

如圖，在△ABC的外接圓O中，D是

BC

的中點，AD交BC于點E，連接BD．
（1）列出圖中所有相似三角形；
（2）連接DC，若在

BAC

上任取一點K（點A，B，C除外），連接CK，DK，DK交BC于點F，DC²=DF•DK是否成立？若成立，給出證明；若不成立，舉例說明．

Answer 1

（1）△BDE∽△CAE，△DBE∽△DAB，△ABD∽△AEC．

（2）DC²=DF•DK成立．
證明：∵D是

BC

的中點，
∴

BD

=

DC

，
∴∠DBC=∠DCB（等弧的圓周角相等），
又∵∠DBC=∠DKC，
∴∠DCB=∠DKC，
又∵∠KDC=∠CDF，
∴△KDC∽△CDF，
∴

KD

DC

=

DC

DF

，
∴DC²=DF•DK．