Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，AE平分∠BAD，交BC邊于點E，DE與AC交于點F，若∠CDE=2∠CAE，CD-CE=1，AE=2$\sqrt{3}$，則BC邊的長為5．

Answer 1

分析 如圖，連接BD交AE于O，連接EG，作OM⊥BC于M，DN⊥BC于N．首先證明四邊形ABED是菱形，再證明AD=DC，設AB=AD=DC=DE=BE=x，則EC=x-1，由OB=OD，OM∥DN，推出BM=MN，由DE=DC，DN⊥EC，推出EN=NC=$\frac{1}{2}$（x-1），推出BM=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3x-1}{4}$，推出EM=BE-BM=x-$\frac{3x-1}{4}$=$\frac{x+1}{4}$，由△EOM∽△EBO，可得OE²=EM•EB，由此列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，連接BD交AE于O，連接EG，作OM⊥BC于M，DN⊥BC于N．

∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠EAB，
∴∠EAB=∠AEB，
∴AB=BE，∵AD=AB，
∴AD=BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，∵AB=AD，
∴四邊形ABED是菱形，
∴BD⊥AE，OA=OE，
∴GA=GE，
∴∠GAE=∠GEA，
∴∠CGE=2∠GAE，∵∠EDC=2∠CAE，
∴∠FGE=∠FDC，
∵∠GFE=∠DFC，
∴∠GEF=∠DCF，
∵DG=DG，DA=DE，GA=GE，
∴△GDA≌△DGE，
∴∠DAG=∠DEG=∠DCF，
∴DA=DC，設AB=AD=DC=DE=BE=x，則EC=x-1，
∵OB=OD，OM∥DN，
∴BM=MN，
∵DE=DC，DN⊥EC，
∴EN=NC=$\frac{1}{2}$（x-1），
∴BM=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3x-1}{4}$，
∴EM=BE-BM=x-$\frac{3x-1}{4}$=$\frac{x+1}{4}$，
由△EOM∽△EBO，可得OE²=EM•EB，
∴3=$\frac{x+1}{4}$•x，
∴x²+x-12=0，
∴x=3或-4（舍棄），
∴BC=BE+EC=3+2=5，
故答案為5．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．