Question

（2012•徐匯區一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜邊AB上的中線，AB=10，tanA=

4

3

，點P是CE延長線上的一動點，過點P作PQ⊥CB，交CB延長線于點Q，設EP=x，BQ=y．
（1）求y關于x的函數關系式及定義域；
（2）連接PB，當PB平分∠CPQ時，求PE的長；
（3）過點B作BF⊥AB交PQ于F，當△BEF和△QBF相似時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用tanA=

BC

AC

，以及AB=10，即可求出BC，AC，再利用△PCQ∽△ABC，利用相似三角形的性質求出y與x的關系式即可；
（2）利用PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足為Q．得出BM=BQ=y，進而求出x即可；
（3）分兩種情況：①當∠FEB=∠A時，②當∠FEB=∠ABC時，分別求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵tanA=

BC

AC

=

4

3

，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵CE是斜邊AB上的中線，
∴CE=BE=

1

2

AB=5，
∴∠PCB=∠ABC，
∵∠PQC=∠ACB=90°，
∴△PCQ∽△ABC，
∴

CQ

PC

=

BC

AB

=

4

5

，
即

8+y

5+x

=

4

5

，
∴y=

4

5

x-4，定義域為x＞5．

（2）過點B作BM⊥PC，垂足為M．
∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足為Q．
∴BM=BQ=y，
∵tanA=

4

3

=

BC

AC

，
設AC=3x，則BC=4x，AB=5x，
∴sin∠MCB=

BM

BC

=

AC

AB

=

3

5

，
∴BM=

3

5

BC=

3

5

×8=

24

5

，
∴

4

5

x-4=

24

5

，
∴x=11，

（3）∵∠Q=∠ACB=90°，∠QBF=∠A，
∴△BQF∽△ABC，
當△BEF和△QBF相似時，
可得△BEF和△ABC也相似．
分兩種情況：
①當∠FEB=∠A時，
在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，BF=

5

3

y
∴

5

3

(

4

5

x-4)=

4

3

×5，
解得x=10；  
②當∠FEB=∠ABC時，
在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，BF=

5

3

y
∴

5

3

(

4

5

x-4)=

3

4

×5，
解得x=

125

16

；
綜合①②，x=

125

16

或10．

點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定，相似三角形的考查是中考中重點題型，同學們應重點掌握．