Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交AB于點F．

（1）求證：AE為⊙O的切線．

（2）當BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為3．

【解析】

（1）連接OM，如圖，由等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥BC，由角平分線的定義和等腰三角形的性質可得∠OMB=∠CBM，從而可得OM∥BC，進一步即可推出AE⊥OM，進而可得結論；

（2）先由等腰三角形的性質求出BE的長，設⊙O的半徑為R，易證△OMA∽△BEA，然后根據相似三角形的性質即可得到關于R的方程，解方程即得結果．

（1）證明：連接OM，如圖，

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為R，

∵BC=8，

∴BE=BC=4，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴，即，

解得：R=3，

∴⊙O的半徑為3．