Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經過兩點A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P（m，n）在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，設△PBC的面積為S，求S關于m的函數表達式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；

（3）點M在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點M、點N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點M和點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）S△PBC＝﹣3m2+9m（0＜m＜3）；（3）M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣）

【解析】

（1）根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點C的坐標，根據點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，設點P的坐標為（m，﹣2m2+4m+6），則點F的坐標為（m，﹣2m+6），進而可得出PF的長度，利用三角形的面積公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函數的性質即可求出△PBC面積的最大值；

（3）分兩種不同情況，當點M位于點C上方或下方時，畫出圖形，由相似三角形的性質得出方程，求出點M，點N的坐標即可．

（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，

得：，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．

（2）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，如圖1所示．

當x＝0時，y＝﹣2x2+4x+6＝6，

∴點C的坐標為（0，6）．

設直線BC的解析式為y＝kx+c，

將B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6．

設點P的坐標為（m，﹣2m2+4m+6），則點F的坐標為（m，﹣2m+6），

∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，

∴，

∴當時，△PBC面積取最大值，最大值為 ．

∵點P（m，n）在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，

∴0＜m＜3．

（3）存在點M、點N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．

如圖2，∠CMN＝90°，當點M位于點C上方，過點M作MD⊥y軸于點D，

∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，

∴△MCD∽△NCM，

若△CMN與△OBC相似，則△MCD與△NCM相似，

設M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），

∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，

當 時，△COB∽△CDM∽△CMN，

∴ ，

解得，a＝1，

∴M（1，8），

此時，

∴N（0，），

當時，△COB∽△MDC∽△NMC，

∴ ，

解得 ，

∴M（，），

此時N（0，）．

如圖3，當點M位于點C的下方，

過點M作ME⊥y軸于點E，

設M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），

∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，

同理可得：或，△CMN與△OBC相似，

解得或a＝3，

∴M（，）或M（3，0），

此時N點坐標為，N（0，）或N（0，﹣）．

綜合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），，N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．