Question

【題目】已知正方形，點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn).

（1）如圖1，點(diǎn)在邊的垂直平分線上，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，恰好點(diǎn)落在直線上，求的度數(shù)；

（2）如圖2，點(diǎn)在對(duì)角線上，連接，若將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線段，試問(wèn)點(diǎn)是否在直線上，請(qǐng)給出結(jié)論，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，若，設(shè)，，，請(qǐng)寫出、、這三條線段長(zhǎng)之間滿足的數(shù)量關(guān)系是____________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)在直線上，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判定是等邊三角形，從而求解；

（2）根據(jù)題意證明∴，從而求證；

（3）把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出結(jié)論，等量代換求解．

連接，

∵點(diǎn)在邊的垂直平分線上，

∴.

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∴.

（2）點(diǎn)在直線上.證明如下：

作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)交于點(diǎn).

∴，

∴，

∴

又∵在正方形對(duì)角線上，∴∠EAP=∠APE=45°

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.

即將線段繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線段，點(diǎn)在直線上.

（3）

如圖，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AMD，

由題意可知：∠APB=∠AAMD=135°，DM=BP,AP=AM=a，∠PAM=90°

∴∠AMP=45°

∴∠PMD=90°

∴在Rt△APM中，

在Rt△PMD中，

∴

將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BNC，同理可證

在Rt△PNC中，

在Rt△BPN中，

∴

所以可得：

整理得：

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