Question

【題目】如圖，在中，，過點作射線AD//BC，點從點出發沿射線以的速度運動．同時點從點出發沿射線以的速度運動．連結交于點，設點運動時間為．

（1）求證：AG=BG．

（2）求AE+CF的長（用含t的代數式表示）．

（3）設的面積為，直接寫出當時，的面積（且含的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當0≤t≤4時，AE+CF= 4cm，當t>4時，AE+CF= 2t-4；（3）當CF=2時，ΔAEG的面積或．

【解析】

（1）先由運動得出AE＝BF，再由平行線性質得到∠EAG=∠B，∠AEG=∠BFG ，即可得到兩個三角形全等，即可得出結論；

（2）先得出AE＝BF，再分點F在線段BC和BC的延長線上，用線段的和差即可得出結論；

（3）先求出MG＝，再分點F在線段BC和BC的延長線上，用線段的和差求出BF，即可求出AE，最后用三角形的面積公式即可得出結論．

（1）∵AE=t，BF=t，

∴AE=BF ．

∵，

∴∠EAG=∠B，∠AEG=∠BFG ．

∴△AEG≌△BFG．

∴AG=BG ．

（2）由（1）知，△AEG≌△BFG，

∴AE＝BF，當點F在線段BC上時，AE＋CF＝BF＋CF＝BC＝4cm；

當點F在線段BC的延長線上時，AE＋CF＝BF＋CF＝t＋t4＝2t4；．

（3）如圖，過點G作MN⊥BC，

由（1）知，△AEG≌△BFG，

∴AE＝BF，GM＝GN＝MN．

∵S△ABC＝CBMN＝a，

∴MN＝，

∴MG＝，

當點F在線段BC上時，BF＝BCCF＝42＝2，

∴AE＝2，

∴S△AEG＝AEMG＝×2×a＝a，

當點F在BC延長線上時，BF＝BC＋CF＝4＋2＝6，

∴AE＝6，

∴S△AEG＝AEMG＝×6×a＝．

∴ΔAEG的面積為或．