Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E，連接AD．

（1）求證：AE＝CE；

（2）若∠B＝60°，求∠CAD的度數；

（3）若AC＝4，BC＝3，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）30°；（3）1.

【解析】

（1）由相似三角形的判定與性質，線段和差證明得AE=CE；
（2）由圓周角定理，平行線性質，等腰三角形的判定與性質，角的和差求出∠CAD的度數為30°；
（3）由勾股定理，相似三角形的性質，線段的和差，等量代換求出DE的長為1．

（1）如圖所示：

∵OD∥BC，

∴△AOE∽△ABC，

∴，

又∵AB是⊙O的直徑，

∴AB＝2AO，

∴，

又∵AC＝AE+EC，

∴AE＝EC；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACD＝90°，

又∵OD∥BC，

∴∠B＝∠ACE，∠ACD＝∠AED，

又∴∠B＝60°，

∴∠AOE＝60°，∠AEO＝90°，

又∵∠EAO+∠AOE＝90°，

∴∠EAO＝30°，

又∵AO＝DO，

∴∠OAD＝60°，

又∵∠OAD＝∠OAE+∠CAD，

∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°；

（3）在Rt△ACB中，由勾股定理得：

＝＝5，

∴OA＝，

∴OD＝，

又∵，BC＝3，

∴OE＝，

又∵OD＝OE+DE，

∴DE＝＝1．