Question

【題目】如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，圓心在AC上，∠A=30°，D為 的中點．
（1）求證：AB=BC；
（2）求證：四邊形BOCD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的切線，

∴OB⊥AB，

∵∠A=30°，

∴∠AOB=60°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC= ∠AOB=30°，

∴∠A=∠OCB，

∴AB=BC

（2）證明：連接OD，

∵∠AOB=60°，

∴∠BOC=120°，

∵D為 的中點，

∴ = ，∠BOD=∠COD=60°，

∵OB=OD=OC，

∴△BOD與△COD是等邊三角形，

∴OB=BD=OC=CD，

∴四邊形BOCD是菱形．

【解析】（1）由AB是⊙O的切線，∠A=30°，易求得∠OCB的度數，繼而可得∠A=∠OCB=30°，又由等角對等邊，證得AB=BC；（2）首先連接OD，易證得△BOD與△COD是等邊三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可證得四邊形BOCD是菱形．