Question

【題目】拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個相等的實數根．其中正確的結論是（　　）

A.③④B.②④C.②③D.①④

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用拋物線與x軸有2個交點和判別式的意義可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點A在點（0，0）和（1，0）之間，則x＝1時，a﹣b+c＜0，則可對②進行判斷；由拋物線的對稱軸方程得到b＝2a，而x＝﹣1時，a﹣b+c＝2，則a﹣2a+c＝2，、于是可對③進行判斷；利用拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），可得到拋物線與直線y＝2只有一個公共點，于是可對④進行判斷．

解：∵拋物線與x軸有2個交點，

∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①錯誤；

∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），

∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，

而拋物線與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，

∴拋物線與x軸的另一個交點A在點（0，0）和（1，0）之間，

∴x＝1時，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②錯誤；

∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a，

∵x＝﹣1時，y＝2，

即a﹣b+c＝2，

∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正確；

∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），

即x＝﹣1時，y有最大值2，

∴拋物線與直線y＝2只有一個公共點，

∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個相等的實數根，所以④正確．

故選：A．