Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線 交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為x=﹣2，點P（0，t）是y軸上的一個動點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標．
（2）如圖1，當0≤t≤4時，設△PAD的面積為S，求出S與t之間的函數關系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此時t的值．
（3）如圖2，當點P運動到使∠PDA=90°時，Rt△ADP與Rt△AOC是否相似？若相似，求出點P的坐標；若不相似，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對稱軸為x=﹣ =﹣2，

解得b=﹣1，

所以，拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣x+3，

∵y=﹣ x2﹣x+3=﹣ （x+2）2+4，

∴頂點D的坐標為（﹣2，4）；

（2）

解：令y=0，則﹣ x2﹣x+3=0，

整理得，x2+4x﹣12=0，

解得x1=﹣6，x2=2，

∴點A（﹣6，0），B（2，0），

如圖1，過點D作DE⊥y軸于E，

∵0≤t≤4，

∴△PAD的面積為S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE，

= ×（2+6）×4﹣ ×6t﹣ ×2×（4﹣t），

=﹣2t+12，

∵k=﹣2＜0，

∴S隨t的增大而減小，

∴t=4時，S有最小值，最小值為﹣2×4+12=4；

（3）

解：如圖2，過點D作DF⊥x軸于F，

∵A（﹣6，0），D（﹣2，4），

∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4，

∴AF=DF，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴∠ADF=45°，

由二次函數對稱性，∠BDF=∠ADF=45°，

∴∠PDA=90°時點P為BD與y軸的交點，

∵OF=OB=2，

∴PO為△BDF的中位線，

∴OP= DF=2，

∴點P的坐標為（0，2），

由勾股定理得，DP= =2 ，

AD= AF=4 ，

∴ = =2，

令x=0，則y=3，

∴點C的坐標為（0，3），OC=3，

∴ = =2，

∴ = ，

又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，

∴Rt△ADP∽Rt△AOC．

【解析】（1）根據二次函數的對稱軸列式求出b的值，即可得到拋物線解析式，然后整理成頂點式形式，再寫出頂點坐標即可；（2）令y=0解關于x的一元二次方程求出點A、B的坐標，過點D作DE⊥y軸于E，然后根據△PAD的面積為S=S梯形AOCE﹣S△AOP﹣S△PDE ， 列式整理，然后利用一次函數的增減性確定出最小值以及t值；（3）過點D作DF⊥x軸于F，根據點A、D的坐標判斷出△ADF是等腰直角三角形，然后求出∠ADF=45°，根據二次函數的對稱性可得∠BDF=∠ADF=45°，從而求出∠PDA=90°時點P為BD與y軸的交點，然后求出點P的坐標，再利用勾股定理列式求出AD、PD，再根據兩邊對應成比例夾角相等兩三角形相似判斷即可．