Question

【題目】如圖，我南海某海域A處有一艘捕魚船在作業時突遇特大風浪，船長馬上向我國漁政搜救中心發出求救信號，此時一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向的B處，該漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達，于是決定馬上調整方向，先向北偏東60°方向以每小時30海里的速度航行半小時到達C處，同時捕魚船低速航行到A點的正北1.5海里D處，漁政船航行到點C處時測得點D在南偏東53°方向上．
（參考數據：sin53°≈ ， cos53°≈ ， tan53°≈）

（1）求CD兩點的距離；
（2）漁政船決定再次調整航向前去救援，若兩船航速不變，并且在點E處相會合，求∠ECD的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點C、D分別作CH⊥AB，DF⊥CH，垂足分別為H，F，

∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°﹣60°=30°，

∴CG=BC=×（30×）=7.5，

∵∠DAG=90°，

∴四邊形ADFG是矩形，

∴GF=AD=1.5，

∴CF=CG﹣GF=7.5﹣1.5=6，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，

∵∠DCF=53°，

∴COS∠DCF=，

∴CD===10（海里）．

答：CD兩點的距離是10；

（2）

解：如圖，

設漁政船調整方向后t小時能與捕漁船相會合，

由題意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，

過點E作EH⊥CD于點H，則∠EHD=∠CHE=90°，

∴sin∠EDH=，

∴EH=EDsin53°=3t×=t，

∴在Rt△EHC中，sin∠ECD===．

答：sin∠ECD=．

【解析】（1）過點C、D分別作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分別為G，F，根據直角三角形的性質得出CG，再根據三角函數的定義即可得出CD的長；
（2）如圖，設漁政船調整方向后t小時能與捕漁船相會合，由題意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，過點E作EH⊥CD于點H，根據三角函數表示出EH，在Rt△EHC中，根據正弦的定義求值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解關于方向角問題(指北或指南方向線與目標方向 線所成的小于90°的水平角，叫做方向角)．