Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，交AB延長線于點F．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD、AD，

∵DE切⊙O于點D，

∴OD⊥DE，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴D是BC的中點，

又∵O是AB中點，

∴OD∥AC，

∴DE⊥AC

（2）解：∵AB=10，

∴OB=OD=5，

由（1）得OD∥AC，

∴△ODF∽△AEF，

∴ = = ，

設BF=x，AE=8，

∴ = ，

解得：x= ，

經檢驗x= 是原分式方程的根，且符合題意，

∴BF=

【解析】（1）連接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中點，由O是AB中點知OD∥AC，根據OD⊥DE可得；（2）證△ODF∽△AEF得 = ，據此可得答案．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．