Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y=ax2+bx﹣a2關于y軸對稱且有最小值﹣1．

（1）求拋物線C1的解析式；

（2）在圖1中拋物線C1頂點為A，將拋物線C1繞 點B旋轉180°后得到拋物線C2，直線y=kx﹣2k+4總經過一定點M，若過定點M的直線與拋物線C2只有一個公共點，求直線l的解析式．

（3）如圖2，先將拋物線 C1向上平移使其頂點在原點O，再將其頂點沿直線y=x平移得到拋物線C3，設拋物線C3與直線y=x交于C、D兩點，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1（2）過定點M，共有三條直線l：x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，它們分別與拋物線C3只有一個公共點（3）

【解析】試題分析： 根據拋物線的對稱軸為軸，求得拋物線有最小值，可求得，即可求出拋物線的解析式.

依題意可求出拋物線的解析式為： 由直線總經過一定點M，可求得定點M為，①經過定點與軸平行的直線： 與拋物線總有一個公共點．②經過定點的直線為一次函數時，與聯立方程組，利用可得得 的值，即可得出 或，綜上所述，過定點M，共有三條直線它們分別與拋物線只有一個公共點．

設拋物線的頂點為，依題意可得拋物線的解析式為： 與直線聯立，可得的坐標，過點C作∥軸，過點D作DM∥y軸，可求出 即可得出的值．

試題解析：（1）拋物線的對稱軸為軸，

解得

拋物線的解析式為

當拋物線有最小值，即 解得： 或（舍去）．

拋物線的解析式

（2）拋物線的解析式

設拋物線與x軸的令一個交點為．

令得： 解得：

將拋物線繞點旋轉后得到拋物線，

∴點對應點的坐標為，點對應點的坐標為.

設的解析式為將代入得： 解得

的解析式為

直線總經過一定點M，

∴定點M為，

①經過定點與軸平行的直線： 與拋物線總有一個公共點．

②將與聯立得： 整理得：

∵過定點M的直線與拋物線只有一個公共點，

解得

∴過定點M的直線的解析式為 或，

綜上所述，過定點M，共有三條直線l： 或 或，它們分別與拋物線只有一個公共點．

（3）以平移后拋物線的頂點為坐標原點建立坐標系，則直線和拋物線在新坐標系的解析式為 與

將與聯立，解得： 或

∴點和點在新坐標系內的坐標分別為