Question

【題目】已知拋物線y=–x2+1的頂點為P，點A是第一象限內該二次函數圖像上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數圖像于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接PA、PD,PD交AB于點E，△PAD與△PEA相似嗎？ （ ）

A. 始終相似B. 始終不相似C. 只有AB=AD時相似D. 無法確定

Answer 1

【答案】A

【解析】

先求出P點坐標，得到OP的長，再設A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，再表示出OD，OF，PF，AF，然后根據△PEF∽△PDO，利用相似三角形的性質列式求出EF，再利用勾股定理表示出PA2，PE，PD，從而得到，再根據相似三角形的判定定理即可得證.

解：令x=0，則y=1，

∴OP=1，

設A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，

∵AB⊥y軸，AD⊥x軸，

∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=m2，

在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，

在Rt△POD中，PD=，

由AB∥x軸得，△PEF∽△PDO，

∴，

即，

解得PE=m2，

∴PA2=PD·PE= m4+m2，

∴，

∵∠APE=∠DPA，

∴△PAD∽△PEA，

則△PAD與△PEA始終相似.

故選A.