Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）．雙曲線y=（x＞0）的圖象經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．

（1）直接寫出k的值及點E的坐標；

（2）若點F是OC邊上一點，且FB⊥DE，求直線FB的解析式．

Answer 1

【答案】（1）k=3，（2，）（2）y=

【解析】

分析: （1）先根據點B的坐標為（2,3）求出D點坐標,代入反比例函數解析式即可求出k的值，進而得出解析式，再把x=2代入求出y的值即可得出E點坐標,
（2）根據FB⊥DE,利用同角的余角相等得到一組等角,再根據兩直角相等進而得出△FBC∽△DEB,根據相似三角形的性質進而求出F點的坐標,利用待定系數法求出直線FB的解析式即可.

詳解:（1）∵點B的坐標為（2,3）,點D是BC的中點,

∴D（1,3）,

∵點D在反比例函數（x＞0）上,

∴3=,解得k=3,
∴反比例函數的解析式為:．
∵四邊形OABC是矩形,點B的坐標為（2,3）,
∴當x=2時,y=,
∴E點坐標為（2,）

(2)因為FB⊥DE,

∴∠CBF+∠EDB=90°,∠BED+∠EDB=90°,

∴∠CBF=∠BDE,

因為∠C=∠DBE=90°,

∴△FBC∽△DEB,

∵點E的坐標為（2,）,B的坐標為（2,3）,點D的坐標為（1,3）,

∴BD=1,BE=,BC=2,
∵△FBC∽△DEB,
∴,

即:,

∴FC=,
∴點F的坐標為（0,）,
設直線FB的解析式y=kx+b,
則2k+b=3,b=,
解得:k=,
∴直線FB的解析式y=.

點睛:本題主考查反比例函數與幾何綜合,解決本題的關鍵是要熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征,要求學生利用相似三角形的性質進行綜合分析.