Question

【題目】已知雙曲線y=（x＞0），直線l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）過定點F且與雙曲線交于A，B兩點，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），直線l2：y=﹣x+ ．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面積S；
（2）
若AB= ， 求k的值；
（3）設N（0，2），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值時P的坐標．
（參考公式：在平面直角坐標系中，若A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）則A，B兩點間的距離為AB=）

Answer 1

【答案】
（1）

解：當k=-1時，l1：y=﹣x+2，

聯立得，，化簡得x2﹣2x+1=0，

解得：x1=﹣1，x2=+1，

設直線l1與y軸交于點C，則C（0，2）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=2（x2﹣x1）=2；

（2）

解：根據題意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的兩根，

∴ ①，

∴AB==

=

=，

將①代入得，AB==（k＜0），

∴=，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=﹣2，或 k=；

（3）

解：∵直線l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）過定點F,

∴ F（，）.

如圖：

設P（x，），則M（﹣+，），

則PM=x+﹣==，

∵PF==，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

當點P在NF上時等號成立，此時NF的方程為y=﹣x+2，

由（1）知P（﹣1，+1），

∴當P（﹣1，+1）時，PM+PN最小值是2．

【解析】（1）將l1與y=組成方程組，即可得到C點坐標，從而求出△OAB的面積；
（2）根據題意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），根據根與系數的關系得到2k2+5k+2=0，從而求出k的值；
（3）設P（x，），則M（﹣+ ， ），根據PM=PF，求出點P的坐標．