Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點B （4，0）、D （5，3），設它與x軸的另一個交點為A（點A在點B的左側），且△ABD的面積是3．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）求∠ADB的正切值；

（3）若拋物線與y軸交于點C，直線CD交x軸于點E，點P在射線AD上，當△APE與△ABD相似時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+8；（2）；（3）P（11，9）或（4，2）．

【解析】

（1）先根據的面積求出點A的坐標，再利用待定系數法求解即可；

（2）先根據的坐標求出的值，再過點B作于E，可求出的值，從而可得的正切值；

（3）根據的坐標分別求出直線的解析式，再分和兩種情況討論，分別根據相似三角形的性質得出對應角相等，然后利用平行線的性質和解直角三角形求解即可.

（1）設

，AB邊上的高為3

則由的面積是3可得：

解得

設拋物線解析式為

將代入得：，解得

故該拋物線的表達式為；

（2）如圖1，過點D作軸于點F

則

過點B作于E

在等腰中，

則

故的正切值為；

（3）如圖2，設直線AD解析式為

將代入得，解得

則直線AD解析式為

同理，由可得直線BD解析式為

由可得直線CD解析式為

當時，，解得

①若，則

則可設PE所在直線解析式為

將點代入得，解得

則直線PE解析式為

由，解得

故此時點

②若，則

過點P作于點G

由直線AD的解析式可設P的坐標為

則

，解得

綜上，點P的坐標為或.