Question

【題目】如圖，是的直徑，弦，

（1）求證：是等邊三角形．

（2）若點是的中點，連接，過點作，垂足為，若，求線段的長；

（3）若的半徑為4，點是弦的中點，點是直線上的任意一點，將點繞點逆時針旋轉60°得點，求線段的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用垂徑定理的推論證明AB垂直平分DC，得到AD=AC，再證明∠DAC=60°即可推出△ACD是等邊三角形；

（2）連接OC，OE，先證明∠OCF=90°，再求出半徑OC的長．在Rt△OCF中通過勾股定理即可求出OF的長；

（3）先判斷點P'的軌跡是直線DB，過點Q作QP'⊥DB于點P'，則QP'的值最小，連接DQ，再求出DQ的長度．解Rt△QDP'即可得出結論．

（1）如圖1．

設AB與DC交點為H．

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴DH=CH，，，∴AD=AC，∠CAB=∠DAB=30°，∴∠DAC=60°，∴△ACD是等邊三角形；

（2）如圖2，連接OC，OE．

∵△ACD是等邊三角形，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°．

∵∠CAB=30°，∴∠HOC=60°．

∵E為中點，∴，∴∠EOC=∠EOA120°=60°，∴∠EAC∠EOC=30°．在Rt△ACF中，∵CF=2，∠EAC=30°，∴AC=4，∠ACF=60°，∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=90°，∴DC=AC=4，∴CHDC=2．在Rt△OHC中，∵∠HOC=60°，∠OCH=30°，∴OC=2．在Rt△OCF中，OF；

（3）如圖3，隨著點P的運動，點P'的軌跡為直線DB，過點Q作QP'⊥DB于點P'，則QP'的值最小，連接DQ．

∵Q為AC中點，∴AQ=CQAC，∠ADQ=∠CDQ∠ADC=30°，∴∠OCH=30°．在Rt△OCH中，OC=4，∴HC=42，∴DC=4．在Rt△DCQ中，∠DCQ=60°，∴DQ=46．在Rt△QDP'中，∠QDP'=90°﹣∠ADQ=60°，∴QP'=63．