Question

【題目】已知：如圖，直線交坐標軸于A、C兩點，拋物線過A、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為拋物線位于第三象限上一動點，連接PA，PC，試問△PAC是否存在最大值，若存在，請求出△APC取最大值以及點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）點M為拋物線上一點，點N為拋物線對稱軸上一點，若△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，△PAC的面積最大值為，點P的坐標為（，）；（3）點M的坐標為：或或（，）或（，）．

【解析】

（1）由一次函數解析式求得A、C兩點的坐標，然后代入到二次函數解析式，用待定系數法求解；

（2）過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，直線PQ，AC交于點P，設點P的坐標為（，），則點D的坐標為（，），根據兩點間距離公式求得PD =，然后根據三角形面積公式求得==，由此根據二次函數的性質分析最值；

（3）分情況討論：當點M在對稱軸左側時，構造矩形EFCG，設點M的坐標為（，），利用AAS定理證明△MEN≌△CFM，然后結合拋物線對稱軸求得MF==，NE=，從而列方程求解；作MF⊥y軸，垂足為F，MF交對稱軸于點E；設點M的坐標為（，），則ME= ，CF= ，然后列方程求解；當點M在對稱軸的右側時，過點M作EF∥x軸，分別交對稱軸與y軸于點E和點F．設點M的坐標為（，），然后結合拋物線對稱軸求得ME= =，CF= = ，然后列方程求解；作ME⊥對稱軸，垂足為E，ME交NC，交點為F．設點M的坐標為（，），則ME= ，CF= ，然后列方程求解．

解：（1）交x軸于A（-3，0），交y軸于C（0，-3），

∵拋物線經過點A（-3，0），點C（0，-3），

∴，解得，

∴拋物線解析式為：；

（2）如圖2，過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，直線PQ，AC交于點P，

設點P的坐標為（，），則點D的坐標為（，），

∴線段PD的長為：（）-（）=，

∵，，

∴====，

∵，∴當時候，△PAC的面積又最大值，最大值為，

此時點P的坐標為（，）；

（3）①如圖3，當點M在對稱軸左側時，構造矩形EFCG，設點M的坐標為（，），

∵△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形

∴∠NME+∠CMF=90°，∠FCM+∠CMF=90°

∴∠NME=∠FCM

又∵∠E=∠F=90°，MN=MC

∴△MEN≌△CFM，

∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，

∴MF==，NE=，

∵MF=NE，∴，

解得（舍），，

故點M的坐標為；

②如圖6，作MF⊥y軸，垂足為F，MF交對稱軸于點E；

設點M的坐標為（，），則ME= ，CF= ，

由①同理可證△MNE≌△CFM，

∵ME=CF，故，

解得：（舍），，

故點M的坐標為（，）；

③如圖5，當點M在對稱軸的右側時，過點M作EF∥x軸，分別交對稱軸與y軸于點E和點F．

設點M的坐標為（，），

由①同理可證△MEN≌△MFC，拋物線對稱軸為直線x=-1，

則ME= =，CF= = ，

∵ME=CF，∴，解得：（舍），，

故的點M的坐標 為；

④如圖4，作ME⊥對稱軸，垂足為E，ME交NC，交點為F．

設點M的坐標為（，），則ME= ，CF= ，

由①同理可證△MNE≌△CFM，

∵ME=CF，故，

解得：，（舍），

故點M的坐標為（，）；

綜上可得點M的坐標為：或或（，）或（，）．