Question

【題目】如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數 （x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO=2．

（1）求k的值；
（2）點N（a，1）是反比例函數 （x＞0）圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PM+PN最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．

∵tan∠AHO=2，∴OH=1．

∵MH⊥x軸，∴點M的橫坐標為1．

∵點M在直線y=2x+2上，

∴點M的縱坐標為4．即M（1，4）．

∵點M在y= 上，

∴k=1×4=4

（2）

解：存在．

過點N作N關于x軸的對稱點N1，連接MN1，交x軸于P（如圖所示）．此時PM+PN最小．

∵點N（a，1）在反比例函數 （x＞0）上，

∴a=4．即點N的坐標為（4，1）．

∵N與N1關于x軸的對稱，N點坐標為（4，1），

∴N1的坐標為（4，﹣1）．

設直線MN1的解析式為y=kx+b．

由 解得k=﹣ ，b= ．

∴直線MN1的解析式為 ．

令y=0，得x= ．

∴P點坐標為（ ，0）

【解析】（1）根據直線解析式求A點坐標，得OA的長度；根據三角函數定義可求OH的長度，得點M的橫坐標；根據點M在直線上可求點M的坐標．從而可求K的值；（2）根據反比例函數解析式可求N點坐標；作點N關于x軸的對稱點N1 ， 連接MN1與x軸的交點就是滿足條件的P點位置．