Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB
的中點(diǎn)，連接DE．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿
BA方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t(0＜t
＜4)s．解答下列問題：

(1)當(dāng)t為何值時，PQ⊥AB？
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在B、E之間運(yùn)動時，設(shè)五邊形PQBCD的面積為ycm²，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在(2)的情況下，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為
＝1∶29？若存在，求出此時t的值以及點(diǎn)E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）y（3）當(dāng)時，h

解：（1）如圖，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴。
∵點(diǎn)D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，
∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4。
∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90⁰。
又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B。
∴△PQE∽△ABC。∴。
由題意，得PE=4－t，QE=2t－5，
∴，解得。
∴當(dāng)時，PQ⊥AB。
（2）過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M。
由△PME∽△ABC，得，
∴，即。
∴，
 。
∴。
（3）假設(shè)存在時刻t使＝1∶29，此時，，
∴，即。
解得（舍去）。
當(dāng)時，PM=，ME=，EQ=5－2×2=1，
MQ=ME＋EQ=，。
∵，∴。
當(dāng)時， PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為＝1∶29，此時點(diǎn)E到PQ的距離h。
（1）由△PQE∽△ABC可列式求解。
（2）由△PME∽△ABC可求得，根據(jù)可求關(guān)系式。
（3）假設(shè)存在，由已知＝1∶29可得，即可求出，進(jìn)一步由求出。