Question

（2002•廣州）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，O是AB的中點，OP⊥AB交AC于點P．
（1）證明線段AO、OB、OP中，任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度；
（2）過線段OB（包括端點）上任一點M，作MN⊥AB交AC于點N．如果要使線段AM、MB、MN中任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度，那么請求出線段AM的長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用相似三角形的性質求得個線段的長即可；
（2）根據相似三角形的性質得比例式，列不等式即可求得．
解答：解：（1）∵∠B=90°，OP⊥AB，
∴∠AOP=∠B=90°，
∴△AOP∽△ABC．∴
∵AB=4，BC=3，O是AB的中點．
∴
∴OP=
∵OP=＜AO=OB=2，且+2＞2．
∴OP+AB＞OB
即AO，BO，OP中，任意兩條線段的長度之和大于第三條線段的長度．
∵∠B=90°，OP⊥AB
∴OP∥BC
∵O是AB的中點，
∴OP是△ABC的中位線．
∴OP=BC
∵BC=3
∴OP=；

（2）當M在OB上時，設AM=x（2≤x≤4）
則MB=4-x，
∵△AMN∽△ABC
∴
∴MN=x
又MN＜AM，MB＜AM
∴MN+MB＞AM，
∴x+（4-x）＞x
∴x＜
∴AM的取值范圍為2≤AM＜．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、三角形三邊關系，此題難度較大，解題要細心．