Question

【題目】已知一次函數y=﹣ x+6的圖象與坐標軸交于A、B點（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點E．

（1）求點B的坐標；
（2）求直線AE的表達式；
（3）過點B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：當y=﹣ x+6=0時，x=8，

∴點B的坐標為（8，0）．

（2）解：當x=0時，y=﹣ x+6=6，

∴點A的坐標為（0，6），

∴OA=6，OB=8，

∴AB= =10．

∵AE平分∠BAO，交x軸于點E，

∴ = ，

∴OE= BE．

∵OE+BE=OB=8，

∴OE=3，BE=5，

∴點E的坐標為（3，0）．

設直線AE的表達式為y=kx+b，

將A（0，6）、E（3，0）代入y=kx+b，

，解得： ，

∴直線AE的表達式為y=﹣2x+6．

（3）解：過點F作FG⊥x軸于點G，如圖所示．

∵BF⊥AE，

∴∠BFE=90°=∠AOE．

∵∠AEO=∠BEF，

∴△AOE∽△BFE，

∴ = = ．

∵OA=6，OE=3，

∴AE=3 ．

∵BE=5，

∴BF=2 ，EF= ．

同理可得：△BEF∽△BFG，

∴BG=4，FG=2．

∵OB=8，

∴OG=4=BG，

∴△OFB為等腰三角形，

∴S△OFB= OBFG=8．

【解析】（1）將y=0代入直線AB的表達式中求出x值，此題得解；（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征求出點A的坐標，結合勾股定理可求出AB的長度，再利用角平分線的性質即可求出點E的坐標，根據點A、E的坐標利用待定系數法即可求出直線AE的表達式；（3）過點F作FG⊥x軸于點G，由BF⊥AE可得出△AOE∽△BFE，根據相似三角形的性質可得出BF、EF的長度，同理可得出△BEF∽△BFG，根據相似三角形的性質可得出BG、FG的長度，結合OB=8即可得出OG=BG，由此可得出△OFB為等腰三角形，再根據三角形的面積公式可得出△OFB的面積．
【考點精析】掌握相似三角形的性質是解答本題的根本，需要知道對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．