Question

【題目】如圖，P為∠AOB內一定點，M、N分別是射線OA、OB上一點，當△PMN周長最小時，∠OPM＝50°，則∠AOB＝（　　）

A.40°B.45°C.50°D.55°

Answer 1

【答案】A

【解析】

作P關于OA，OB的對稱點P1，P2．連接OP1，OP2．則當M，N是P1P2與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，根據對稱的性質可以證得：∠OP1M＝∠OPM＝50°，OP1＝OP2＝OP，根據等腰三角形的性質即可求解．

解：作P關于OA，OB的對稱點P1，P2．連接OP1，OP2．則當M，N是P1P2與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，連接P1O、P2O，

∵PP1關于OA對稱，

∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50°

同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2，

∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP，

∴△P1OP2是等腰三角形．

∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°，

∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°，

∴∠AOB＝40°，

故選：A．