Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，、，m、n滿足．C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO＝PD，DE⊥AB于E．

（1）如圖1，當點P在線段AB上運動時，點D恰在線段OA上，則PE與AB的數量關系為　 　．

（2）如圖2，當點D在點A右側時，（1）中結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由．

（3）設AB＝5,若∠OPD＝45°，直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）AB＝2PE；（2）成立，理由見解析；（3）點D．

【解析】

（1）根據非負數的性質分別求出m、n，證明△POC≌△DPE，可得出OC＝PE，由AB＝2OC，則結論得出；

（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，證明△POC≌△DPE，根據全等三角形的性質得到OC＝PE，可得到答案；

（3）證明△POB≌△DPA，得到PA＝OB＝5，DA＝PB，根據坐標與圖形性質解答即可．

解：（1）∵(m﹣n)2+|m﹣5|＝0，

∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，

∴m＝n＝5，

∴A(5，0)、B(0，5)，

∴AC＝BC＝5，

∴△AOB為等腰直角三角形，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，

∵PO＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

∵D是x軸正半軸上一點，

∴點P在BC上，

∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE，

在△POC和△DPE中，

,在此處鍵入公式。

∴△POC≌△DPE(AAS)，

∴OC＝PE，

∵C為AB的中點，

∴AB＝2OC，

∴AB＝2PE．

故答案為：AB＝2PE．

（2）成立，理由如下：

∵點C為AB中點，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，

∵PO＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE，

在△POC和△DPE中，

，

∴△POC≌△DPE(AAS)，

∴OC＝PE，

又∠AOC＝∠BAO＝45°

∴OC＝AC＝AB

∴AB＝2PE；

（3）∵AB＝5，

∴OA＝OB＝5，

∵OP＝PD，

∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，

∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，

∴∠APD＝∠BOP，

在△POB和△DPA中，

，

∴△POB≌△DPA(SAS)，

∴PA＝OB＝5，DA＝PB，

∴DA＝PB＝5﹣5，

∴OD＝OA﹣DA＝5﹣(5﹣5)＝10﹣5，

∴點D的坐標為．