Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．

（1）求證：△ABC是等腰三角形；

（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）32．

【解析】試題分析：（1）首先依據平行線的性質證明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后結合角平分線的定義可證明∠B=∠C，故此可證明△ABC為等腰三角形；

（2）首先證明△AEF≌△CFG，從而得到CG的長，然后可求得BC的長，于是可求得△ABC的周長．

試題解析：證明：（1）∵AE∥BC，∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．

∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．

（2）∵F是AC的中點，∴AF=CF．

在△AFE和△CFG中，∵∠C=∠CAE，AF=FC，∠AFE=∠GFC，∴△AEF≌△CFG，∴AE=GC=8．

∵GC=2BG，∴BG=4，∴BC=12，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=10+10+12=32．