Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片DOE的頂點O與邊AB的中點重合，OD交BC于點F，OE經過點C，且∠DOE=∠B．

（1）證明△COF是等腰三角形，并求出CF的長；

（2）將扇形紙片DOE繞點O逆時針旋轉，OD，OE與邊AC分別交于點M，N（如圖2），當CM的長是多少時，△OMN與△BCO相似？

Answer 1

【答案】(1)證明見解析. ．（2）當CM的長是或時，△OMN與△BCO相似．

【解析】

試題分析：（1）易證∠OCB=∠B，由條件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，從而得到△COF是等腰三角形，過點F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，由等腰三角形的三線合一可求出CH，易證△CHF∽△BCA，從而可求出CF長．

（2）題中要求“△OMN與△BCO相似”，并沒有指明對應關系，故需分情況討論，由于∠DOE=∠B，因此△OMN中的點O與△BCO中的點B對應，因而只需分兩種情況討論：①△OMN∽△BCO，②△OMN∽△BOC．當△OMN∽△BCO時，可證到△AOM∽△ACB，從而求出AM長，進而求出CM長；當△OMN∽△BOC時，可證到△CON∽△ACB，從而求出ON，CN長．然后過點M作MG⊥ON，垂足為G，如圖3，可以求出NG．并可以證到△MGN∽△ACB，從而求出MN長，進而求出CM長．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，點O是AB的中點，

∴OC=0B=OA=5．

∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．

∵∠DOE=∠B，

∴∠FOC=∠OCF．

∴FC=FO．

∴△COF是等腰三角形．

過點F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，

∵FC=FO，FH⊥OC，

∴CH=OH=，∠CHF=90°．

∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，

∴△CHF∽△BCA．

∴．

∵CH=，AB=10，BC=6，

∴CF=．

∴CF的長為．

（2）①若△OMN∽△BCO，如圖2，

則有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM=．

∴CM=AC-AM=．

②若△OMN∽△BOC，如圖3，

則有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON=，CN=．

過點M作MG⊥ON，垂足為G，如圖3，

∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，

∴∠MNO=∠MON．

∴MN=MO．

∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，

∴NG=OG=．

∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，

∴△MGN∽△ACB．

∴．

∵GN=，BC=6，AB=10，

∴MN=．

∴CM=CN-MN=-=．

∴當CM的長是或時，△OMN與△BCO相似．