Question

【題目】如圖①、②、③中，點E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，DB交AE于P點．

（1）分別求圖①，圖②和圖③中，∠APD的度數.

（2）根據前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)60°，90°，108°（2）∠APD=

【解析】試題分析：(1)、由觀察圖形可以看出∠APD是△APB的一個外角，∠APD=∠BAE+∠ABD．又可得出△ABE≌△BCD，由此便可求出∠APD的度數，∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°；(2)、∠APD易證等于∠M，即等于多邊形的內角；(3)、點E、D分別是正n邊形ABCM中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，∠APD等于正n邊形的內角，就可以求出．

試題解析：(1)、∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．

∵BE=CD， ∴△ABE≌△BCD． ∴∠BAE=∠CBD．

∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°

(2)、同理可證：△ABE≌△BCD， ∴∠AEB+∠DBC=180°-90°=90°，

∴∠APD=∠BPE=180°-90°=90°； △ABE≌△BCD，

∴∠AEB+∠DBC=180°-108°=72°， ∴∠APD=∠BPE=180°-72°=108°

(3)、能．如圖，

點E、D分別是正n邊形ABCM中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，則∠APD的度數為.