Question

【題目】2015朝陽）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且∠BDE=∠A．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系并說明理由；
（2）若AC=16，tanA= ， 求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

解： DE與⊙O相切．理由如下：

連接DO，BD，如圖，

∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，

∴∠ADO=∠EDB，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）

解：∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠EBD，

而BD⊥AC，

∴△ABC為等腰三角形，

∴AD=CD=AC=8，

在Rt△ABD中，∵tanA==，

∴BD=×8=6，

∴AB==10，

∴⊙O的半徑為5．

【解析】（1）連接DO，BD，如圖，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，則∠ADO=∠EDB，再根據圓周角定理得∠ADB=90°，所以∠ADO+∠ODB=90°，于是得到∠ODB+∠EDB=90°，然后根據切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線；
（2）利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD，加上BD⊥AC，根據等腰三角形的判定方法得△ABC為等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定義可計算出BD=6，再根據勾股定理計算出AB，從而得到⊙O的半徑．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．