Question

【題目】已知拋物線經過點和 ，與軸交于另一點，頂點為．

（1）求拋物線的解析式，并寫出點的坐標；

（2）如圖，點分別在線段上（點不與重合），且，則能否為等腰三角形？若能，求出的長；若不能，請說明理由；

（3）若點在拋物線上，且，試確定滿足條件的點的個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）可能，的長為或；（3）當時，滿足條件的點的個數有個，當時，滿足條件的點的個數有個，當時，滿足條件的點的個數有個（此時點在的左側）．

【解析】

（1）利用待定系數法，轉化為解方程組即可解決問題．

（2）可能分三種情形①當時，②當時，③當時，分別求解即可．

（3）如圖2中，連接，當點在線段的右側時，作于，連接．設，構建二次函數求出的面積的最大值，再根據對稱性即可解決問題．

（1）由題意：

解得

拋物線的解析式為，

頂點坐標．

（2）可能．如圖1，

①當時，

，此時與重合，與條件矛盾，不成立．

②當時，

又，

，

③當時，

，

，

答：當的長為或時，為等腰三角形．

（3）如圖2中，連接，當點在線段的右側時，作于，連接．設

則

時，的面積的最大值為，

當點在的右側時，的最大值，

觀察圖象可知：當時，滿足條件的點的個數有個，

當時，滿足條件的點的個數有個，

當時，滿足條件的點的個數有個（此時點在的左側）．