Question

【題目】如圖，在矩形中，延長至點，且，為中點，連結，．

（1）求證：的面積是的面積的倍．

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點F作GH⊥CD，分別交AB，CD于點G，H．根據四邊形ABCD是矩形，為中點，可證得△BGF≌△EHF，得GF=HF，△ABF的面積=，△DEF的面積=，又因為AB=3DE，即可求證△ABF的面積是△DEF的面積的3倍．

（2）設DE=a，則CD=3a，BE=6a，EC=4a，由勾股定理即可求出a，進而求出BE．

（1）證明：過點F作GH⊥CD，分別交AB，CD于點G，H．

∵AB∥CD，∴∠GBF=∠E，∠BGF=∠EHF．

∵F為BE中點，∴BF=EF．

∴△BGF≌△EHF（AAS）． ∴GF=HF．

∵FH⊥CD，AB∥CD，∴GF⊥AB．

∴△ABF的面積=，△DEF的面積=，

∵AB=3DE，GF=HF，

∴△ABF的面積是△DEF的面積的3倍．

（2）設DE=a，則CD=AB=3a，BE=2AB=6a，

∴EC=ED+CD=a+3a=4a．

由勾股定理，得，

即，解得，或（舍去）．

∴．

故答案為：