Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0），與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點P（m，0）（0＜m＜4），過點P作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點M．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若PN：PM＝1：4，求m的值；

（3）如圖2，在（2）的條件下，設動點P對應的位置是P1，將線段OP1繞點O逆時針旋轉得到OP2，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接AP2、BP2，求AP2+的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＝3；（3）

【解析】

（1）本題需先根據圖象過A點，代入即可求出解析式；（2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由條件可得到關于m的方程，則可求得m的值；（3）在y軸上取一點Q，使，可證的△P2OB∽△QOP2，則可求得Q點坐標，則可把AP2+BP2轉換為AP2+QP2，利用三角形三邊關系可知當A、P2、Q三點在一條線上時，有最小值，則可求出答案.

解：（1）∵A（4，0）在拋物線上，

∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝；

（2）∵

∴令x＝0可得y＝2，

∴OB＝2，

∵OP＝m，

∴AP＝4﹣m，

∵PM⊥x軸，

∴△OAB∽△PAN，

∴，

∴，

∴，

∵M在拋物線上，

∴PM＝+2，

∵PN：MN＝1：3，

∴PN：PM＝1：4，

∴，

解得m＝3或m＝4（舍去）；

（3）在y軸上取一點Q，使，如圖，

由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，

∴，且∠P2OB＝∠QOP2，

∴△P2OB∽△QOP2，

∴，

∴當Q（0，）時，QP2＝，

∴AP2+BP2＝AP2+QP2≥AQ，

∴當A、P2、Q三點在一條線上時，AP2+QP2有最小值，

∵A（4，0），Q（0，），

∴AQ＝＝，

即AP2+BP2的最小值為