Question

【題目】如圖，已知點P是⊙O外一點，PB切⊙O于點B，BA 垂直OP于C，交⊙O于點A，連接PA、AO，延長AO，交⊙O于點E．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若tan∠CAO=，且OC=4，求PB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）證明△PAO≌△PBO，根據全等三角形的對應角相等證得∠PAO=∠PBO，則∠PBO=90°，根據切線的判定定理證得；

（2）在Rt△ACO中，利用勾股定理求得OA的長，然后根據△ACO∽△PAO，利用相似三角形的對應邊的比相等求解．

試題解析：（1）證明：連接OB，則OA=OB，

∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵ ，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO，

∵PB為⊙O的切線，B為切點，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切線；

（2）∵tan∠CAO=，且OC=4，

∴AC=6，

∴AB=12

在Rt△ACO中，AO=．

顯然△ACO∽△PAO，

∴，即，

∴PA=3，

∴PB=PA=3．