Question

【題目】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，求證：AD=DC+AB，

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，F是DC延長線上一點，連接AF，E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，求證：AB=AF+CF.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）證明見解析.

【解析】

（1）延長AE交DC的延長線于點F，證明△AEB≌△FEC，根據全等三角形的性質得到AB=FC，根據等腰三角形的判定得到DF=AD，證明結論；

（2）延長AE交DF的延長線于點G，利用同（1）相同的方法證明.

解：（1）延長AE交DC的延長線于點F，

∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠F，

在△AEB和△FEC中，，

∴△AEB≌△FEC，

∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠BAE=∠EAD，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠F，

∴∠EAD=∠F，

∴AD=DF，

∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，

（2）如圖②，延長AE交DF的延長線于點G，

∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中， ，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分線，

∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，

∴∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∴AB=CG=AF+CF.