Question

【題目】已知：內接于，弦，垂足為，連接．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，過點作，垂足為，交于點，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、，且，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）延長BO 交⊙O 于點M，連接CM，由圓周角定理可得∠BCM=90°，由余角的性質可得結論；

（2）連接AD，由同弧所對圓周角相等可知∠ADB=∠ACB，根據AD⊥AC于，AG⊥BC，可得∠AFE=∠ACB=90°-∠GAC，所以∠AFE=∠ADE，因此AF=AD，從而得出結論EF=ED；

（3）延長AG交⊙O于N，連接BN，DN，作DH⊥BC于H．由（2）同理可得FG=GN，BF=BN，∠FBG=∠NBG，由（2）知EF=DE，得出DN=2EG=30，設∠ABD=∠OBC=∠ACD=3α，推出∠DCB=2∠DBC，∠DBN=∠DNB=∠DCB=60°+2α，所以DB=DN=30．設CH=x，則BH=x+18，由勾股定理302-（x+18）2=182-x2，解得x=7，得出BH=25，BC=32，再根據cos∠DBC=，求出BE=．

解：（1）延長交于，連接．

∵是直徑

∴

又∵

∴

∵于

∴

∴，

∴

（2）連接，

∵

∴

∵于，于

∴

∴

∴

∴

（3）延長交于，連接，，作于

由（2）同理可得，，

由（2）知

∴為的中位線

∴

設

計算，

∴∴

再計算

∴

在2倍角中，

∵于

∴

設，則

∵

∴

解得，，，

∴

∴．