Question

12．如圖，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足為點D，交⊙O于點C，∠EAC=∠CAB．
（1）求證：直線AE是⊙O的切線，
（2）若AB=8，sin∠E=$\frac{2}{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）首先得出∠OCA+∠CAD=90°，進而求出∠EAC+∠OAC=90°，即可得出答案．
（2）作CF⊥AE于F，根據角平分線的性質和三角函數求得AE=$\frac{20}{3}$，DE=$\frac{16}{3}$，進一步求得CF=CD=2，然后根據勾股定理列出關于r的方程，解方程即可求得．

解答 （1）證明：連接OA，
∵OE垂直于弦AB，
∴∠OCA+∠CAD=90°，
∵CO=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠EAC+∠OAC=90°，
∴OA⊥AE，
即直線AE是⊙O的切線．
（2）解：作CF⊥AE于F，
∵∠EAC=∠CAB，
∴CF=CD，
∵AB=8，
∴AD=4，
∵sin∠E=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{CF}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{20}{3}$，DE=$\frac{16}{3}$，
∴CF=2，
∴CD=2，
設⊙O的半徑r，
在RT△AOD中，OA²=OD²+AD²，即r²=（r-2）²+4²，
解得r=5．
∴⊙O的半徑為5．

點評 本題考查了切線的判定，角平分線的性質，三角函數的應用以及勾股定理的應用，熟練掌握這些性質定理是解題的關鍵．