Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）如圖1，連結BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E的坐標為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．

【解析】

試題（1）采用待定系數法求得二次函數的解析式；

（2）先求得直線BC的解析式為，則可設E（m，），然后分三種情況討論即可求得；

（3）利用△PBD的面積即可求得．

試題解析：（1）∵二次函數（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點，

∴，解得：，∴該二次函數的解析式為；

（2）由二次函數可知對稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數可知B（0，﹣4），設直線BC的解析式為，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設E（m，），

當DC=CE時，，即，解得，（舍去），∴E（，）；

當DC=DE時，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；

當EC=DE時，，解得=，∴E（，）．

綜上，存在點E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點E的坐標為（，）、（0，﹣4）、（，）；

（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點F，∵P點的橫坐標為m，∴P點的縱坐標為：，

∵△PBD的面積

==

=，

∴當m=時，△PBD的最大面積為，∴點P的坐標為（，）．